“[Floer] la théorie de l’homologie ne dépend que de la topologie de votre variété. [This] est l’incroyable perspicacité de Floer », a déclaré Agustin Moreno de l’Institute for Advanced Study.
Diviser par zéro
La théorie de Floer a fini par être extrêmement utile dans de nombreux domaines de la géométrie et de la topologie, y compris la symétrie miroir et l’étude des nœuds.
“C’est l’outil central du sujet”, a déclaré Manolescu.
Mais la théorie de Floer n’a pas complètement résolu la conjecture d’Arnold parce que la méthode de Floer ne fonctionnait que sur un type de variété. Au cours des deux décennies suivantes, les géomètres symplectiques se sont engagés dans un effort communautaire massif pour surmonter cet obstacle. Finalement, le travail a conduit à une preuve de la conjecture d’Arnold où l’homologie est calculée à l’aide de nombres rationnels. Mais cela n’a pas résolu la conjecture d’Arnold lorsque les trous sont comptés à l’aide d’autres systèmes de numération, comme les nombres cycliques.
La raison pour laquelle le travail ne s’est pas étendu aux systèmes de nombres cycliques est que la preuve impliquait de diviser par le nombre de symétries d’un objet spécifique. C’est toujours possible avec les nombres rationnels. Mais avec des nombres cycliques, la division est plus capricieuse. Si le système de numération revient après cinq – en comptant 0, 1, 2, 3, 4, 0, 1, 2, 3, 4 – alors les nombres 5 et 10 sont tous deux équivalents à zéro. (Ceci est similaire à la façon dont 13h00 est identique à 13h00.) Par conséquent, diviser par 5 dans ce cadre équivaut à diviser par zéro, ce qui est interdit en mathématiques. Il était clair que quelqu’un allait devoir développer de nouveaux outils pour contourner ce problème.
“Si quelqu’un me demandait quelles sont les choses techniques qui empêchent la théorie de Floer de se développer, la première chose qui me vient à l’esprit est le fait que nous devons introduire ces dénominateurs”, a déclaré Abouzaid.
Pour étendre la théorie de Floer et prouver la conjecture d’Arnold avec des nombres cycliques, Abouzaid et Blumberg devaient regarder au-delà de l’homologie.
Escalader la Tour du Topologue
Les mathématiciens pensent souvent à l’homologie comme le résultat de l’application d’une recette spécifique à une forme. Au cours du 20e siècle, les topologues ont commencé à étudier l’homologie selon ses propres termes, indépendamment du processus utilisé pour la créer.
Dans les années 1980, Andreas Floer a développé une manière radicalement nouvelle de compter les trous dans les formes topologiques.
« Ne pensons pas à la recette. Réfléchissons à ce qui ressort de la recette. Quelle structure, quelles propriétés avait ce groupe d’homologie ? dit Abouzaid.
Les topologues ont cherché d’autres théories qui satisfaisaient les mêmes propriétés fondamentales que l’homologie. Celles-ci sont devenues connues sous le nom de théories d’homologie généralisées. Avec l’homologie à la base, les topologues ont construit une tour de théories d’homologie généralisée de plus en plus compliquées, qui peuvent toutes être utilisées pour classer les espaces.
L’homologie de Floer reflète la théorie fondamentale de l’homologie. Mais les géomètres symplectiques se sont longtemps demandé s’il était possible de développer des versions de Floer des théories topologiques plus haut sur la tour : des théories qui relient l’homologie généralisée aux caractéristiques spécifiques d’un espace dans un cadre de dimension infinie, tout comme la théorie originale de Floer.
Floer n’a jamais eu l’occasion de tenter ce travail lui-même, mourant en 1991 à l’âge de 34 ans. Mais les mathématiciens ont continué à chercher des moyens d’élargir ses idées.
Analyse comparative d’une nouvelle théorie
Aujourd’hui, après près de cinq ans de travail, Abouzaid et Blumberg ont concrétisé cette vision. Leur nouvel article développe une version Floer de la théorie K de Morava qu’ils utilisent ensuite pour prouver la conjecture d’Arnold pour les systèmes de nombres cycliques.
“Il y a un sens dans lequel cela boucle un cercle pour nous qui remonte jusqu’au travail original de Floer”, a déclaré Keating.
