Après leur succès en 2015, les chercheurs ont décidé d’utiliser leur technique d’aplatissement pour traiter tous les polyèdres finis. Ce changement a rendu le problème beaucoup plus complexe. En effet, avec les polyèdres non orthogonaux, les faces peuvent avoir la forme de triangles ou de trapèzes – et la même stratégie de pliage qui fonctionne pour une boîte de réfrigérateur ne fonctionnera pas pour un prisme pyramidal.
En particulier, pour les polyèdres non orthogonaux, tout nombre fini de plis produit toujours des plis qui se rencontrent au même sommet.
“Cela a gâché notre [folding] gadgets », a déclaré Erik Demaine.
Ils ont envisagé différentes manières de contourner ce problème. Leurs explorations les ont menés à une technique qui s’illustre lorsqu’on essaie d’aplatir un objet particulièrement non convexe : un réseau cubique, qui est une sorte de grille infinie en trois dimensions. À chaque sommet du réseau cubique, de nombreuses faces se rencontrent et partagent une arête, ce qui en fait une tâche redoutable pour réaliser l’aplatissement à l’un de ces points.
“Vous ne penseriez pas nécessairement que vous pourriez, en fait”, a déclaré Ku.
Mais la réflexion sur la façon d’aplatir ce type d’intersection notoirement difficile a conduit les chercheurs à la technique qui a finalement alimenté la preuve. Tout d’abord, ils ont cherché un endroit “n’importe où loin du sommet” qui pourrait être aplati, a déclaré Ku. Ensuite, ils ont trouvé un autre endroit qui pouvait être aplati et ont continué à répéter le processus, se rapprochant des sommets problématiques et aplatissant davantage la forme au fur et à mesure qu’ils avançaient.
S’ils s’arrêtaient à un moment donné, ils auraient plus de travail à faire, mais ils pourraient prouver que si la procédure durait indéfiniment, ils pourraient échapper à ce problème.
“Dans la limite de prendre des tranches de plus en plus petites au fur et à mesure que vous arrivez à l’un de ces sommets problématiques, je pourrai aplatir chacun”, a déclaré Ku. Dans ce contexte, les tranches ne sont pas de véritables coupes, mais des coupes conceptuelles utilisées pour imaginer diviser la forme en morceaux plus petits et l’aplatir en sections, a déclaré Erik Demaine. “Ensuite, nous ‘collons’ conceptuellement ces solutions ensemble pour obtenir une solution à la surface d’origine.”
Les chercheurs ont appliqué cette même approche à tous les polyèdres non orthogonaux. En passant de tranches « conceptuelles » finies à infinies, ils ont créé une procédure qui, poussée à son extrême mathématique, a produit l’objet aplati qu’ils recherchaient. Le résultat règle la question d’une manière qui surprend les autres chercheurs qui se sont penchés sur le problème.
“Il ne m’est même jamais venu à l’esprit d’utiliser un nombre infini de plis”, a déclaré Joseph O’Rourke, informaticien et mathématicien au Smith College qui a travaillé sur le problème. “Ils ont changé les critères de ce qui constitue une solution d’une manière très intelligente.”
Pour les mathématiciens, la nouvelle preuve soulève autant de questions qu’elle n’apporte de réponses. D’une part, ils aimeraient toujours savoir s’il est possible d’aplatir des polyèdres avec seulement un nombre fini de plis. Erik Demaine le pense, mais son optimisme repose sur une intuition.
“J’ai toujours pensé que cela devrait être possible”, a-t-il déclaré.
Le résultat est une curiosité intéressante, mais il pourrait avoir des implications plus larges pour d’autres problèmes de géométrie. Par exemple, Erik Demaine souhaite essayer d’appliquer la méthode de pliage à l’infini de son équipe à des formes plus abstraites. O’Rourke a récemment suggéré que l’équipe étudie si elle pouvait l’utiliser pour aplatir des objets à quatre dimensions en trois dimensions. C’est une idée qui aurait pu sembler farfelue il y a encore quelques années, mais le pliage infini a déjà produit un résultat surprenant. Peut-être que cela peut en générer un autre.
“Le même type d’approche pourrait fonctionner”, a déclaré Erik Demaine. “C’est définitivement une direction à explorer.”
Histoire originale réimprimée avec la permission de Quanta Magazine, une publication éditorialement indépendante de la Fondation Simons dont la mission est d’améliorer la compréhension publique de la science en couvrant les développements de la recherche et les tendances en mathématiques et en sciences physiques et de la vie.
