Dans leur article, mis en ligne fin novembre 2022, un élément clé de la preuve consiste à montrer que, pour la plupart, cela n’a pas de sens de dire si un seul dé est fort ou faible. Les dés de Buffett, dont aucun n’est le plus fort de la meute, ne sont pas si inhabituels : si vous choisissez un dé au hasard, le projet Polymath a montré qu’il est susceptible de battre environ la moitié des autres dés et de perdre contre l’autre moitié. “Presque chaque dé est assez moyen”, a déclaré Gowers.
Le projet s’écartait du modèle original de l’équipe AIM sur un point : pour simplifier certains aspects techniques, le projet a déclaré que l’ordre des nombres sur un dé était important. Ainsi, par exemple, 122556 et 152562 seraient considérés comme deux dés différents. Mais le résultat Polymath, combiné aux preuves expérimentales de l’équipe AIM, crée une forte présomption que la conjecture est également vraie dans le modèle original, a déclaré Gowers.
“J’étais absolument ravi qu’ils aient trouvé cette preuve”, a déclaré Conrey.
En ce qui concerne les collections de quatre dés ou plus, l’équipe AIM avait prédit un comportement similaire à celui de trois dés : par exemple, si A bat B, B bat C et C bat D, alors il devrait y avoir environ 50-50 probabilité que D bat A, se rapprochant exactement de 50-50 lorsque le nombre de faces du dé tend vers l’infini.
Pour tester la conjecture, les chercheurs ont simulé des tournois en tête-à-tête pour des ensembles de quatre dés à 50, 100, 150 et 200 faces. Les simulations n’obéissaient pas aussi étroitement à leurs prédictions que dans le cas de trois dés, mais étaient encore suffisamment proches pour renforcer leur croyance en la conjecture. Mais bien que les chercheurs ne s’en soient pas rendu compte, ces petits écarts portaient un message différent : pour des ensembles de quatre dés ou plus, leur conjecture est fausse.
« Nous voulions vraiment [the conjecture] pour être vrai, parce que ce serait cool », a déclaré Conrey.
Dans le cas de quatre dés, Elisabetta Cornacchia de l’Ecole polytechnique fédérale de Lausanne et Jan Hązła de l’Institut africain des sciences mathématiques de Kigali, au Rwanda, ont montré dans un article mis en ligne fin 2020 que si A bat B, B bat C , et C bat D, alors D a un peu plus de 50 % de chances de battre A, probablement quelque part autour de 52 %, a déclaré Hązła. (Comme pour l’article Polymath, Cornacchia et Hązła ont utilisé un modèle légèrement différent de celui de l’article AIM.)
La découverte de Cornacchia et Hązła découle du fait que même si, en règle générale, un seul dé ne sera ni fort ni faible, une paire de dés peut parfois avoir des zones de force communes. Si vous choisissez deux dés au hasard, ont montré Cornacchia et Hązła, il y a une probabilité décente que les dés soient corrélés : ils auront tendance à battre ou à perdre contre les mêmes dés. “Si je vous demande de créer deux dés proches l’un de l’autre, il s’avère que c’est possible”, a déclaré Hązła. Ces petites poches de corrélation éloignent les résultats des tournois de la symétrie dès qu’il y a au moins quatre dés dans l’image.
Les articles récents ne sont pas la fin de l’histoire. L’article de Cornacchia et Hązła ne fait que commencer à découvrir précisément comment les corrélations entre les dés déséquilibrent la symétrie des tournois. En attendant, cependant, nous savons maintenant qu’il existe de nombreux ensembles de dés intransitifs, peut-être même un assez subtil pour inciter Bill Gates à choisir en premier.
Histoire originale réimprimée avec la permission de Quanta Magazine, une publication éditorialement indépendante de la Fondation Simons dont la mission est d’améliorer la compréhension publique de la science en couvrant les développements de la recherche et les tendances en mathématiques et en sciences physiques et de la vie.
