Quelques minutes dans une conférence de 2018 à l’Université du Michigan, Ian Tobasco a ramassé un gros morceau de papier et l’a froissé en une boule de chaos apparemment désordonnée. Il l’a tenu pour que le public puisse le voir, l’a pressé pour faire bonne mesure, puis l’a étalé à nouveau.
“Je reçois une masse sauvage de plis qui émergent, et c’est le casse-tête”, a-t-il déclaré. « Qu’est-ce qui distingue ce modèle d’un autre modèle plus ordonné ? »
Il a ensuite tenu un deuxième grand morceau de papier – celui-ci pré-plié dans un célèbre motif d’origami de parallélogrammes connu sous le nom de Miura-ori – et l’a pressé à plat. La force qu’il a utilisée sur chaque feuille de papier était à peu près la même, a-t-il dit, mais les résultats n’auraient pas pu être plus différents. Le Miura-ori était soigneusement divisé en régions géométriques; la boule froissée était un gâchis de lignes irrégulières.
“Vous avez l’impression que ceci,” dit-il, montrant l’arrangement dispersé des plis sur la feuille froissée, “n’est qu’une version désordonnée aléatoire de cela.” Il indiqua le Miura-ori soigné et ordonné. “Mais nous n’avons pas mis le doigt sur si oui ou non c’est vrai.”
Faire ce lien ne nécessiterait rien de moins que d’établir des règles mathématiques universelles de modèles élastiques. Tobasco travaille là-dessus depuis des années, étudiant les équations décrivant les matériaux élastiques minces, des éléments qui réagissent à une déformation en essayant de reprendre leur forme d’origine. Piquez un ballon assez fort et un motif en étoile de rides radiales se formera ; retirez votre doigt et ils se lisseront à nouveau. Pressez une boule de papier froissée et elle se dilatera lorsque vous la relâcherez (bien qu’elle ne se défroisse pas complètement). Les ingénieurs et les physiciens ont étudié comment ces modèles émergent dans certaines circonstances, mais pour un mathématicien, ces résultats pratiques suggèrent une question plus fondamentale : est-il possible de comprendre, en général, ce qui sélectionne un modèle plutôt qu’un autre ?
En janvier 2021, Tobasco a publié un article qui répondait à cette question par l’affirmative, du moins dans le cas d’une feuille lisse, incurvée et élastique pressée à plat (une situation qui offre un moyen clair d’explorer la question). Ses équations prédisent comment des rides apparemment aléatoires contiennent des domaines “ordonnés”, qui ont un motif répétitif et identifiable. Et il a coécrit un article, publié en août, qui montre une nouvelle théorie physique, fondée sur des mathématiques rigoureuses, qui pourrait prédire des modèles dans des scénarios réalistes.
Notamment, les travaux de Tobasco suggèrent que le froissement, sous ses nombreuses formes, peut être considéré comme la solution à un problème géométrique. “C’est une belle analyse mathématique”, a déclaré Stefan Müller du Centre Hausdorff de mathématiques de l’Université de Bonn en Allemagne.
Il expose avec élégance, pour la première fois, les règles mathématiques – et une nouvelle compréhension – derrière ce phénomène commun. “Le rôle des mathématiques ici n’était pas de prouver une conjecture que les physiciens avaient déjà faite”, a déclaré Robert Kohn, mathématicien au Courant Institute de l’Université de New York et conseiller d’études supérieures de Tobasco, “mais plutôt de fournir une théorie là où il y avait auparavant aucune compréhension systématique.
S’étirer
L’objectif de développer une théorie des rides et des motifs élastiques est ancien. En 1894, dans une revue de Nature, le mathématicien George Greenhill soulignait la différence entre les théoriciens (« Que devons-nous penser ? ») et les applications utiles qu’ils pouvaient trouver (« Que devons-nous faire ? »).
Aux XIXe et XXe siècles, les scientifiques ont largement progressé sur ce dernier, étudiant les problèmes de rides d’objets spécifiques qui se déforment. Les premiers exemples incluent le problème de forger des plaques de métal lisses et incurvées pour les navires de mer et d’essayer de relier la formation des montagnes au réchauffement de la croûte terrestre.
