Un de les problèmes de géométrie les plus anciens et les plus simples ont pris les mathématiciens au dépourvu, et ce n’est pas la première fois.
Depuis l’Antiquité, les artistes et les géomètres se demandent comment les formes peuvent paver tout le plan sans lacunes ni chevauchements. Et pourtant, “on ne savait pas grand-chose jusqu’à une époque assez récente”, a déclaré Alex Iosevich, mathématicien à l’Université de Rochester.
Les pavages les plus évidents se répètent : il est facile de couvrir un sol avec des copies de carrés, de triangles ou d’hexagones. Dans les années 1960, les mathématiciens ont trouvé d’étranges ensembles de tuiles qui peuvent couvrir complètement le plan, mais seulement d’une manière qui ne se répète jamais.
“Vous voulez comprendre la structure de tels pavages”, a déclaré Rachel Greenfeld, mathématicienne à l’Institute for Advanced Study de Princeton, New Jersey. « À quel point peuvent-ils devenir fous ? »
Assez fou, il s’avère.
Le premier motif non répétitif, ou apériodique, reposait sur un ensemble de 20 426 tuiles différentes. Les mathématiciens voulaient savoir s’ils pouvaient réduire ce nombre. Au milieu des années 1970, Roger Penrose (qui allait remporter le prix Nobel de physique 2020 pour ses travaux sur les trous noirs) a prouvé qu’un simple ensemble de seulement deux tuiles, appelées “cerfs-volants” et “fléchettes”, suffisait.
Il n’est pas difficile de trouver des motifs qui ne se répètent pas. De nombreux pavages répétitifs ou périodiques peuvent être modifiés pour former des pavages non répétitifs. Considérons, disons, une grille infinie de cases, alignées comme un échiquier. Si vous décalez chaque ligne de manière à ce qu’elle soit décalée d’une valeur distincte par rapport à celle du dessus, vous ne pourrez jamais trouver une zone pouvant être coupée et collée comme un tampon pour recréer le carrelage complet.
La véritable astuce consiste à trouver des ensembles de tuiles – comme celles de Penrose – qui peuvent couvrir tout le plan, mais uniquement de manière à ne pas se répéter.
Illustration : Merrill Sherman/Quanta Magazine
Les deux tuiles de Penrose ont soulevé la question : pourrait-il y avoir une seule tuile intelligemment formée qui corresponde à la facture ?
Étonnamment, la réponse s’avère être oui – si vous êtes autorisé à déplacer, faire pivoter et refléter la tuile, et si la tuile est déconnectée, ce qui signifie qu’elle a des lacunes. Ces lacunes sont comblées par d’autres copies de la tuile convenablement tournées et convenablement réfléchies, couvrant finalement l’ensemble du plan bidimensionnel. Mais si vous n’êtes pas autorisé à faire pivoter cette forme, il est impossible de carreler le plan sans laisser d’espaces.
En effet, il y a plusieurs années, le mathématicien Siddhartha Bhattacharya a prouvé que, quelle que soit la complexité ou la subtilité d’une conception de tuiles, si vous ne pouvez utiliser que des décalages ou des traductions d’une seule tuile, alors il est impossible de concevoir une tuile qui peut couvrir tout le plan de manière apériodique mais pas périodique.
